Question

若圓C過(guò)點(diǎn)M（0，1）且與直線相切，設(shè)圓心C的軌跡為曲線E，A、B（A在y軸的右側(cè)）為曲線E上的兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足

   （Ⅰ）求曲線E的方程；

   （Ⅱ）若t=6，直線AB的斜率為，過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓N與拋物線在點(diǎn)A處共同的切線，求圓N的方程；

   （Ⅲ）分別過(guò)A、B作曲線E的切線，兩條切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在直線上，求證：t與均為定值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）t與均為定值.

【解析】（I）由于圓心C到定點(diǎn)M的距離與到定直線y=-1的距離相等，所以其軌跡為拋物線其方程為.

(II)因?yàn)閠=6,所以直線AB的斜率為,直線AB的方程是.然后與拋物線方程聯(lián)立求出A、B的坐標(biāo).再利用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)A處的切線的斜率，進(jìn)而確定NA的斜率，求出NA的方程.再求出AB的垂直平分線方程與NA的方程聯(lián)立，可求出圓心N的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出半徑的值，寫出圓N的方程.

(III) 設(shè),由題意可知,從而可知是方程即的兩根,得到,

再根據(jù)A，P，B共線,斜率相等可求出t的值.

然后根據(jù)

可證明也為定值