Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓 （a＞b＞0）的離心率為 ，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P為橢圓上的一點，過點O作OP的垂線交直線 于點Q，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得， ， ，

解得 ，c=1，b=1．

所以橢圓的方程為

（2）解：由題意知OP的斜率存在．

當(dāng)OP的斜率為0時， ， ，所以 ．

當(dāng)OP的斜率不為0時，設(shè)直線OP方程為y=kx．

由 得（2k2+1）x2=2，解得 ，所以 ，

所以 ．

因為OP⊥OQ，所以直線OQ的方程為 ．

由 得 ，所以O(shè)Q2=2k2+2．

所以 ．

綜上，可知

【解析】（1）由已知條件可得 ， ，然后求解橢圓的方程．（2）由題意知OP的斜率存在．當(dāng)OP的斜率為0時，求解結(jié)果；當(dāng)OP的斜率不為0時，設(shè)直線OP方程為y=kx．聯(lián)立方程組，推出 ．OQ2=2k2+2．然后求解即可．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．