Question

已知圓C：（x-1）²+（y-1）²=2經(jīng)過橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F，且F到右準(zhǔn)線的距離為2．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）如圖，過原點O的射線l與橢圓Γ在第一象限的交點為Q，與圓C的交點為P，M為OP的中點，求

OM

•

OQ

的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）在圓（x-1）²+（y-1）²=2中，令y=0，得F（2，0），

a2

c

-c=2得a²=8，由此能求出橢圓方程．
（2）依題意射線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx（x＞0，k＞0），設(shè)P（x₁，kx₁），Q（x₂，kx₂），直線代入橢圓、圓的方程，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，利用導(dǎo)數(shù)，即可求

OM

•

OQ

的最大值．

解答： 解：（1）在C：（x-1）²+（y-1）²=2中，
令y=0得F（2，0），即c=2，
又

a2

c

-c=2得a²=8，∴橢圓Γ：

x2

8

+

y2

4

=1．…（4分）
（2）依題意射線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx（x＞0，k＞0），設(shè)P（x₁，kx₁），Q（x₂，kx₂）
直線代入橢圓方程得：（1+2k²）x²=8，∴x₂=

2 2

1+2k2

．（6分）
由直線代入圓的方程得：（1+k²）x²-（2+2k）x=0，∴x₁=

2+2k

1+k2

，
∴

OM

•

OQ

=

1

2

（x₁，kx₁）•（x₂，kx₂）=

1

2

（x₁x₂+k²x₁x₂）=2

2

•

1+k

1+2k2

（k＞0）．（9分）
設(shè)φ（k）=

k2+2k+1

1+2k2

，φ′（k）=

-4k2-2k+2

(1+2k2)2

，
令φ′（k）＞0，得-1＜k＜

1

2

．
又k＞0，∴φ（k）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞增，在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)k=

1

2

時，φ（k）_max=

3

2

，即

OM

•

OQ

的最大值為2

3

．…（12分）

點評：本題考查直線、圓、橢圓、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化及函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想．