Question

7．四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為$\frac{243π}{16}$同一球面上，則PA=$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)E，則E是AC中點(diǎn)，取PC中點(diǎn)O，連結(jié)OE，推導(dǎo)出O是該四棱錐的外接的球心，可得球半徑，由四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為$\frac{243π}{16}$，建立方程求出PA即可．

解答 解：連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)E，取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OE，則OE∥PA，所以O(shè)E⊥底面ABCD，則O到四棱錐的所有頂點(diǎn)的距離相等，即O球心，均為$\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}\sqrt{P{A^2}+A{C^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{P{A^2}+8}$，
所以由球的體積可得$\frac{4}{3}π{（\frac{1}{2}\sqrt{P{A^2}+8}）^3}=\frac{243π}{16}$，解得$PA=\frac{7}{2}$，
故答案為：$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體的外接球的體積，考查勾股定理的運(yùn)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．