Question

已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是DSBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA==．求三棱錐S-ABC的體積．

Answer 1

答案：
解析：

解：如圖，由題設(shè)，AH^面SBC．作BH^SC于E，由三垂線(xiàn)定理可知SC^AE，SC^AB，故SC^面ABE．設(shè)S在面ABC內(nèi)射影為O，則SO^面ABC．由三垂線(xiàn)定理之逆定理，可知CO^AB于F．同理，BO^AC．故O為DABC的垂心．     又因?yàn)?/span>DABC是等邊三角形，故O為DABC的中心，     從而，SA==SB==SC==．     因?yàn)?/span>CF^AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂線(xiàn)定理，EF^AB．     所以，ÐEFC是二面角H-AB-C的平面角，故     ÐEFC==30°，     OC==SCcos60°==，     SO===3．     又OC=AB，故AB====3．    VS-ABC==．