Question

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F、H分別為BB₁、DC、CC₁的中點(diǎn).

(1)求證：D₁F⊥平面DEH；

(2)求點(diǎn)D₁到平面DEH的距離.

Answer 1

思路解析：本題所涉及的幾何體是正方體，因此可以考慮通過(guò)建立直角坐標(biāo)系來(lái)解決相應(yīng)的問(wèn)題.要證明線面垂直，圍繞著線面垂直的判定定理，先證明線線垂直，轉(zhuǎn)而證明相關(guān)的向量垂直，從而得出結(jié)論；再利用向量的相關(guān)知識(shí)求得點(diǎn)到面的距離.

解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B₁(2,2,2)，C₁(0,2,2)，D₁(0,0,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，H(0,2,1).

(1)=(2,0,0)，=(0,2,1)，=(0,-1,2)，=2×0+(-1)×0+2×0=0，⊥，同理，⊥，∴⊥平面DEH.

(2)由(1)知，D₁F⊥平面DEH，所以=(0,-1,2)是平面DEH的一個(gè)法向量，因此點(diǎn)D₁到平面DEH的距離是d=