Question

14．某班為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)英語的興趣，在班內(nèi)舉行英語寫、說、唱綜合能力比賽，比賽分為預(yù)賽和決賽2個(gè)階段，預(yù)賽為筆試，決賽為說英語、唱英語歌曲，將所有參加筆試的同學(xué)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖，其中后三個(gè)矩形高度之比依次為4：2：1，落在[80，90）的人數(shù)為12人．
（Ⅰ）求此班級人數(shù)；
（Ⅱ）按規(guī)定預(yù)賽成績不低于90分的選手參加決賽，已知甲乙兩位選手已經(jīng)取得決賽資格，參加決賽的選手按抽簽方式?jīng)Q定出場順序．
（i）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；
（ii）記甲乙二人排在前三位的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）落在區(qū)間[80，90）的頻率是（1-0.16）×$\frac{2}{7}$，即可得出人數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，參加決賽的選手共6人，（i）設(shè)“甲不在第一位，乙不在最后一位”為事件A，利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出甲不在第一位、乙不在最后一位的概率．
（ii）隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出隨機(jī)變量X的分布列．

解答 解：（Ⅰ）落在區(qū)間[80，90）的頻率是$（1-0.16）×\frac{2}{7}=0.24$，
所以人數(shù)$n=\frac{12}{0.24}=50$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，參加決賽的選手共6人，
（i）設(shè)“甲不在第一位，乙不在最后一位”為事件A，
則$P（A）=\frac{A_5^5+A_4^1A_4^1A_4^4}{A_6^6}=\frac{7}{10}$，
所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率為$\frac{7}{10}$．
（ii）隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，$P（X=0）=\frac{A_3^2A_4^4}{A_6^6}=\frac{1}{5}$，$P（X=1）=\frac{C_2^1A_3^1A_3^1A_4^4}{A_6^6}=\frac{3}{5}$，$P（X=2）=\frac{A_3^2A_4^4}{A_6^6}=\frac{1}{5}$，
隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

因?yàn)?E（X）=0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}=1$，
所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為1．

點(diǎn)評 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．