Question

14．過M（-2，0）作直線l交曲線x²-y²=1于A，B兩點，已知$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，求點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 設出直線l的方程及A，B，P的坐標，雙曲線方程聯(lián)立消去x，進而根據(jù)韋達定理表示出y=y₁+y₂和x=x₁+x₂，進而聯(lián)立消去m，即可求得P點的軌跡方程．

解答 解：設直線l：x=my-2，m±1，
并設點A，B，P的坐標分別是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}x=my-2\\{x}^{2}-{y}^{2}=1\end{array}\right.$消去x，得（m²-1）y²-4my+3=0，①
由直線l與雙曲線有兩個不同的交點，可得△=（-4m）²-12（m²-1）＞0，即4m²+12＞0，恒成立，
由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，及方程①，得y=y₁+y₂=$\frac{4m}{{m}^{2}-1}$，
x=x₁+x₂=（my₁-2）+（my₂-2）=$\frac{4}{{m}^{2}-1}$，
即$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{{m}^{2}-1}\\ y=\frac{4m}{{m}^{2}-1}\end{array}\right.$，由于m≠±1（否則，直線l與雙曲線有一個公共點），
將上方程組兩式相除得，m=$\frac{y}{x}$，代入到方程x=$\frac{4}{{m}^{2}-1}$，
整理，得x²-y²+4x=0．
綜上所述，點P的軌跡方程為x²-y²+4x=0．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的交點的軌跡方程問題．常需要把直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達定理找解決問題的突破扣．