Question

證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n＞1,n∈N^*且a、b、c互不相等時，均有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.

Answer 1

證明：(1)設a、b、c為等比數(shù)列,a=,c=bq(q＞0且q≠1).

∴aⁿ+cⁿ=+bⁿqⁿ=bⁿ(+qⁿ)＞2bⁿ.

(2)設a、b、c為等差數(shù)列,則2b=a+c.猜想＞()ⁿ(n≥2且n∈N^*).

下面用數(shù)學歸納法證明.

①當n=2時,由2(a²+c²)＞(a+c)²,

∴＞()².

②設n=k時成立,即＞()^k,

則當n=k+1時,(a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1)＞(a^k+1+c^k+1+a^k·c+c^k·a)= (a^k+c^k)(a+c)＞()^k·()=()^k+1.

∴由①②可知,當n＞1,n∈N^*且a、b、c互不相等時,均有＞()ⁿ.

∴由(1)(2)可知,當n＞1,n∈N^*且a、b、c互不相等時,均有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.