Question

15．設拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點F是雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）右焦點．若曲線C₁與C₂的公共弦AB恰好過F，則雙曲線C₁的離心率e的值為$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 由題意，交點為（$\frac{p}{2}$，p），代入雙曲線方程得$\frac{\frac{{p}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{{p}^{2}}{^{2}}$=1，結合$\frac{p}{2}$=c，即可求得雙曲線C₁的離心率e的值．

解答 解：由題意，交點為（$\frac{p}{2}$，p），代入雙曲線方程得$\frac{\frac{{p}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{{p}^{2}}{^{2}}$=1，
又$\frac{p}{2}$=c
∴代入化簡得 c⁴-6a²c²+a⁴=0
∴e⁴-6e²+1=0
e²=3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²，
∴e=$\sqrt{2}$+1．
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查雙曲線與拋物線的定義，考查雙曲線的幾何性質，解題的關鍵是確定關于幾何量的等式．