Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，，P為C₁D₁的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求AD與平面AMP所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-AM-D的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）以D點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示，可得D、P、C、A、M各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出、的坐標(biāo)，計(jì)算出•=0即可得到AM⊥PM；
（II）利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，建立方程組解出是平面PAM的一個(gè)法向量，結(jié)合的坐標(biāo)算出cos＜，＞的值，利用直線與平面所成角的定義即可得到AD與平面AMP所成角的正弦值；
（III）向量是平面PAM的一個(gè)法向量，而平面AMD的法向量為，算出、夾角的余弦值等于，從而得到二面角P-AM-D的大小為45°．
解答：解：（Ⅰ）以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz…（1分）
可得，．
∴，，
由此可得，
即，可得AM⊥PM．                …（4分）
（Ⅱ）設(shè)平面PAM的一個(gè)法向量為，
則，即解得，
取y=1，得，…（6分）
∴AD與平面AMP所成角θ的正弦值
sinθ=|cos＜，＞|==．                …（9分）
（Ⅲ）由（II），向量是平面PAM的一個(gè)法向量，
∵平面AMD的法向量為，可得cos＜，＞===
∴向量，的所成角等于45°，觀察圖形可得：二面角P-AM-D的大小等于45°．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題利用空間向量的方法證明線線垂直，并求直線與平面所成角和平面與平面所成角的大�。�著重考查了空間坐標(biāo)系的建立、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量的數(shù)量積等知識(shí)，屬于中檔題．