Question

12．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-4{y^2}=1（{a＞0}）$的右頂點到其一條漸近線的距離等于$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，拋物線E：y²=2px的焦點與雙曲線C的右焦點重合，則拋物線E上的動點M到直線l₁：4x-3y+6=0和l₂：x=-1的距離之和的最小值為2．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，運用點到直線的距離公式計算可得a，進(jìn)而得到c，由拋物線的焦點坐標(biāo)，可得p=2，進(jìn)而得到拋物線的方程．連接MF，過點M作MA⊥l₁于點A，作MB⊥準(zhǔn)線x=-1于點C．由拋物線的定義，得到d₁+d₂=MA+MF，再由平面幾何知識可得當(dāng)M、A、F三點共線時，MA+MF有最小值，因此算出F到直線l的距離，即可得到所求距離的最小值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-4{y^2}=1（{a＞0}）$的漸近線方程為y=±$\frac{x}{2a}$，
右頂點（a，0）到其一條漸近線的距離等于$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
可得$\frac{a}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
解得a=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
即有c=1，
由題意可得$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
即有拋物線的方程為y²=4x，
如圖，過點M作MA⊥l₁于點A，
作MB⊥準(zhǔn)線l₂：x=-1于點C，
連接MF，根據(jù)拋物線的定義得MA+MC=MA+MF，
設(shè)M到l₁的距離為d₁，M到直線l₂的距離為d₂，
∴d₁+d₂=MA+MC=MA+MF，
根據(jù)平面幾何知識，可得當(dāng)M、A、F三點共線時，MA+MF有最小值．
∵F（1，0）到直線l₁：4x-3y+6=0的距離為$\frac{|4-0+6|}{\sqrt{16+9}}$=2．
∴MA+MF的最小值是2，
由此可得所求距離和的最小值為2．
故答案為2．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運用，同時考查拋物線的方程和性質(zhì)，給出拋物線和直線l₁，求拋物線上一點到準(zhǔn)線的距離與直線l₁距離之和的最小值，著重考查了點到直線的距離公式、拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．