Question

5．橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上的一點A關于原點的對稱點為B，F(xiàn)為它的右焦點，若AF⊥BF，則△AFB的面積是（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$中a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$，橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上的一點A關于原點的對稱點為B，F(xiàn)為它的右焦點，AF⊥BF，可得AO=2$\sqrt{3}$，求出A的縱坐標，即可求出三角形△AF₂B的面積．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$中a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$，
∵橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上的一點A關于原點的對稱點為B，F(xiàn)為它的右焦點，若AF⊥BF，
∴AO=BO=OF=2$\sqrt{3}$，
設A（x，y），則x²+y²=12，
∵橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，聯(lián)立消去x，化簡可得|y|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴三角形△AF₂B的面積是2×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=4，
故選：B．

點評 本題考查三角形△AFB的面積，考查橢圓的性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．