Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且S_n-1+

1

Sn

+2=0（n≥2）．
（1）寫出S₁，S₂，S₃，S₄．（不用寫求解過(guò)程）
（2）猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：第（1）問(wèn)，因?yàn)閍₁=s₁，代入S_n-1+

1

Sn

+2=0（n≥2）可得S₂，依此類推，可得S₃，S₄；
第（2）問(wèn)，根據(jù)第一問(wèn)結(jié)果，猜想出S_n的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，先驗(yàn)證n=1時(shí)結(jié)論成立，然后寫出假設(shè)，即n=k時(shí)，結(jié)論成立，利用S_n-1+

1

Sn

+2=0（n≥2），將假設(shè)代入上式，解出S_k+1，從而證明n=k+1時(shí)結(jié)論成立．

解答： 解：由已知得（1）S1=1， S2=-

1

3

， S3=-

3

5

， S4=-

5

7

（2）猜想Sn=

2n-3

2n-1

，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，S1=-

2×1-3

2×1-1

=1，猜想成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^★）猜想成立，即Sk=-

2k-3

2k-1

，
那么∵Sk+

1

Sk+1

+2=0，
∴

1

Sk+1

=-2-Sk=-2+

2k-3

2k-1

=-

2k+1

2k-1

∴Sk+1=-

2k-1

2k+1

=

2(k+1)-3

2(k+1)-1

，所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立
由①和②，可知猜想對(duì)任何n∈N^★都成立．

點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，關(guān)鍵在于第二步證明n=k+1時(shí)命題成立，一般是找到n=k時(shí)與n=k+1時(shí)的要證的結(jié)論之間的關(guān)系，然后將假設(shè)代入這個(gè)關(guān)系式，求出（或者變形得到）我們要的n=k+1時(shí)的結(jié)論；再就是注意證明時(shí)的模式，即（1）驗(yàn)證n取初始值時(shí)命題成立，（2）寫出假設(shè)，由此結(jié)合已知推出n=k+1時(shí)的結(jié)論成立；（3）綜上，下結(jié)論．