Question

己知數(shù)列{a_n}滿足，其中n∈N^*，首項(xiàng)為a₁

(1)若數(shù)列是一個(gè)無窮的常數(shù)數(shù)列，試求a₁的值．

(2)若a₁＝2，求滿足不等式的自然數(shù)n的集合

(3)若存在a₁＝m，使數(shù)列{a_n}滿足，對(duì)任意的正整數(shù)n，均有．求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)令得，或　　2分 　　故或時(shí)，∴或　　4分 　　(2)解法一：，又 　　∴對(duì)大于1的正整數(shù)，都有　　5分 　　于是 　　∴數(shù)列是遞減數(shù)列　　6分 　　又，，，　　8分 　　故，即 　　∴且即為所求的自然數(shù)的范圍　　9分 　　解法二：由，， 　　猜想：　　6分 　　用數(shù)學(xué)歸納法證之： 　　時(shí)成立 　　若成立， 　　則 　　即：也成立 　　∴的通項(xiàng)公式為：　　8分 　　由得：∴且　　9分 　　解法三：由(1)知：　　5分 　　因，由(1)知，對(duì)都有　　6分 　　∴即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列∴　　8分 　　以下同另解(一)　　9分 　　(3)由解得：或　　10分 　　同樣，要使則或　　11分 　　當(dāng)時(shí)，， 　　不合題意　　12分 　　當(dāng)時(shí)，，且，故可類推 　　的所有項(xiàng)均滿足 　　∴，即　　14分