Question

20．定義$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$為n個正數(shù)p₁，p₂，…，p_n的“均倒數(shù)”．若已知數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+3}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2}$，則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{9}_{10}}$=（　�。�

• A． $\frac{1}{7}$
• B． $\frac{10}{69}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{10}{39}$

Answer 1

分析 首先根據(jù)信息建立等量關(guān)系，進一步求出數(shù)列的通項公式，最后利用裂項相消法求出結(jié)果．

解答 解：定義$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$為n個正數(shù)p₁，p₂，…，p_n的“均倒數(shù)”．
所以：已知數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+3}$，
即：$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+3}$，
所以S_n=n（2n+3）
則a_n=S_n-S_n-1=4n+1，
當n=1時，也成立．
則a_n=4n+1．
由于b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2}$=2n+1，
所以$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{9}_{10}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{21}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{21}$）=$\frac{1}{7}$．
故選：A．

點評 本題考查的知識要點：信息題型的應(yīng)用，數(shù)列通項公式的求法，利用裂項相消法求數(shù)列的和．