Question

已知函數f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=

1

3

x+1，g（x）=

f1(x)+f2(x)

2

+

|f1(x)-f2(x)|

2

，若a，b∈[-1，5]，且當x₁，x₂∈[a，b]時，

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立，則b-a的最大值為（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：由f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=

1

3

x+1，g（x）=

f1(x)+f2(x)

2

+

|f1(x)-f2(x)|

2

分段求出g（x），分析其單調性，由x₁，x₂∈[a，b]時，

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立說明函數在[a，b]上為增函數，求出a為0，b等于5，則b-a的最大值可求．

解答： 解：∵a，b∈[-1，5]，且x₁，x₂∈[a，b]，
∴a＜b，
∵

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立，
∴g（x）在區(qū)間[a，b]上單調第增，
∵函數f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=

1

3

x+1，g（x）=

f1(x)+f2(x)

2

+

|f1(x)-f2(x)|

2

，
∴g（x）=

f1(x)，x∈[-1，0]∪[3，5] f2(x)，x∈[0，3]

當x∈[-1，0）時，g（x）=1-x，單調減；
當x∈[0，3]時，g（x）=

1

3

x+1，單調增；
當x∈[3，5]時，g（x）=x-1，單調遞增．
∴a=0，b=5．
b-a的最大值為5-0=5．
故選：D．

點評：本題考查了恒成立問題，考查了數學轉化思想方法，解得的關鍵是對題意的理解，是中檔題．