Question

17．如圖是從成都某中學參加高三體育考試的學生中抽出的40名學生體育成績（均為整數）的頻率分布直方圖，該直方圖恰好缺少了成績在區(qū)間[70，80）內的圖形，根據圖形的信息，回答下列問題：
（1）求成績在區(qū)間[70，80）內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖，并估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）；
（2）從成績在[80，100]內的學生中選出三人，記在90分以上（含90分）的人數為X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （1）根據各組的頻率和為1求出成績在[70，80）內的頻率，計算對應小矩形的高，補全頻率分布直方圖，再計算60分及以上分數的頻率和即可；
（2）計算成績在[80，90）和[90，100）內的人數，得X的可能取值，求出對應的概率值，寫出X的分布列，計算數學期望．

解答 解：（1）根據各組的頻率和等于1知，
成績在[70，80）內的頻率為：
f₄=1-（0.01×2+0.015+0.020+0.005）×10=0.4，
對應的小矩形的高為$\frac{0.4}{10}$=0.04，
補全頻率分布直方圖如圖所示；
依題意，60分及以上的分數在第三、四、五、六段，
故其頻率和為（0.02+0.04+0.01+0.005）×10=0.75，
∴估計學生成績的及格率是75%；
（2）成績在[80，100]內的人數為（0.01+0.005）×10×40=6，
且在[80，90）和[90，100）內的人數分別為4人和2人；  
∴X的可能取值為0、1、2，
計算P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}{•C}_{2}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

數學期望為E（X）=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1．

點評 本題考查了概率的求法與離散型隨機變量的分布列和數學期望的計算問題，是基礎題．