Question

函數(shù)f（x）=psinωx（p＞0，ω＞0）的最大值為2，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為

π

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，AC=f（

B

2

），C=

2π

3

，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）利用最值可求p，利用圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為

π

2

確定ω；
（2）由（1）可得三角形b=2sinB，由此利用正弦定理可求外接圓的直徑，并且將三角形的周長轉化為角的解析式，利用三角函數(shù)兩腳和與差的三角函數(shù)
公式化簡三角函數(shù)為一個角的三角函數(shù)形式，求最值．

解答： 解：（1）因為函數(shù)f（x）=psinωx（p＞0，ω＞0）的最大值為2，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為

π

2

．
所以p=2，T=π，∴ω=2，
∴f（x）=2sin2x；
（2）在△ABC中，AC=f（

B

2

），C=

2π

3

，由（1）得AC=2sinB=b，由正弦定理可知，△ABC的外接圓直徑為

b

sinB

=2，
△ABC周長為AB+BC+AC=a+b+c=2sinA+2sinB+2sinC=2sinA+2sin（

π

3

-A）+

3

=sinA+

3

cosA+

3

=2sin（A+

π

3

）+

3

，其中

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

，
所以A+

π

3

=

π

2

時△ABC周長的最大值為2+

3

．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的解析式確定、三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查計算能力．