Question

5．已知在平面直角坐標(biāo)系中，角φ（0＜φ＜π），2x的終邊分別與單位圓（以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心）交于A，B兩點(diǎn)，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．
（1）若當(dāng)x=$\frac{2π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（$\frac{π}{8}$）=$\frac{1}{2}$求sin2φ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可以得出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的坐標(biāo)，進(jìn)而得出f（x）=cos（φ-2x），根據(jù)x=$\frac{2π}{3}$時(shí)，f（x）取最小值，再根據(jù)φ的范圍從而可得φ-$\frac{4π}{3}$=-π，這樣便可得出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)$f（\frac{π}{8}）=\frac{1}{2}$可得cos（φ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，再根據(jù)0＜φ＜π便可求出φ，從而便可得出sin2φ的值．

解答 解：（1）根據(jù)條件，A（cosφ，sinφ），B（cos2x，sin2x）；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=cosφcos2x+sinφsin2x$=cos（φ-2x）；
∴f（x）=cos（φ-2x）；
∵x=$\frac{2π}{3}$時(shí)，f（x）取得最小值，且0＜φ＜π；
∴φ-$\frac{4π}{3}$=-π；
∴φ=$\frac{π}{3}$；
∴f（x）=cos（$\frac{π}{3}$-2x）；
（2）$f（\frac{π}{8}）=cos$（φ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$；
∵0＜φ＜π；
∴$φ-\frac{π}{4}=\frac{π}{3}$；
∴$φ=\frac{7π}{12}$；
∴$sin2φ=sin\frac{7π}{6}=-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查三角函數(shù)的定義，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，兩角差的余弦公式，以及已知三角函數(shù)值求角，余弦函數(shù)的最小值．