Question

11．已知橢圓C₁與雙曲線C₂具有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，A為C₁與C₂的一個(gè)公共點(diǎn)，△AF₁F₂為等腰三角形，設(shè)橢圓C₁與雙曲線C₂的離心率分別為e₁，e₂，則（　�。�

• A． e₁e₂=1
• B． e₁e₂=2
• C． e₁+e₂=2
• D． $\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$=2

Answer 1

分析 由題意畫出圖象，設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}=1$和$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}=1$，根據(jù)圖象和條件、橢圓和雙曲線的定義列出方程，化簡(jiǎn)后根據(jù)離心率公式變形即可得到答案．

解答 解：由題意畫出圖象：
設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}=1$和$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}=1$，
（a₁，a₂，b₁，b₂＞0，a₁＞b₁），
由圖可得，|AF₁|＞|AF₂|，
因?yàn)椤鰽F₁F₂的等腰三角形，所以由圖可得|AF₁|=|F₁F₂|=2c，
由橢圓、雙曲線的定義得：|AF₁|+|AF₂|=2a₁，|AF₁|-|AF₂|=2a₂，
兩式相加得：2|AF₁|=2a₁+2a₂=4c，
即a₁+a₂=2c，兩邊同除以c得：$\frac{{a}_{1}}{c}+\frac{{a}_{2}}{c}=2$，
則$\frac{1}{\frac{c}{{a}_{1}}}+\frac{1}{\frac{c}{{a}_{2}}}=2$，所以$\frac{1}{{e}_{1}}+\frac{1}{{e}_{2}}=2$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、離心率計(jì)算公式，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．