Question

3．定義在R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，0]上為增函數(shù)，且滿足f（x+1）=-f（x），則（　�。�

• A． f（$\sqrt{2}$）＜f（2）＜f（3）
• B． f（2）＜f（3）＜f（$\sqrt{2}$）
• C． f（3）＜f（2）＜f（$\sqrt{2}$）
• D． f（3）＜f（$\sqrt{2}$）＜f（2）

Answer 1

分析 根據(jù)f（x+1）=-f（x）便可得到f（x）為周期為2的周期函數(shù)，從而有$f（\sqrt{2}）=f（2-\sqrt{2}），f（2）=f（0），f（3）=f（1）$，而由題意可得到f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，從而可以得到$f（1）＜f（2-\sqrt{2}）＜f（0）$，這樣便可找出正確選項．

解答 解：f（x+1）=-f（x）；
∴f（x）=f（x+2）；
∴f（x）是以2為周期的周期函數(shù)；
根據(jù)題意知，f（x）在[0，1]上為減函數(shù)；
又1$＞2-\sqrt{2}＞0$；
∴$f（1）＜f（2-\sqrt{2}）＜f（0）$，且$f（\sqrt{2}）=f（2-\sqrt{2}），f（2）=f（0），f（3）=f（1）$；
∴$f（3）＜f（\sqrt{2}）＜f（2）$．
故選：D．

點評 考查周期函數(shù)的定義，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性特點，以及減函數(shù)的定義，將自變量的值變到單調(diào)區(qū)間上再比較函數(shù)值大小的方法．