Question

若數列{a_n}滿足：a₁=m₁，a₂=m₂，a_n+2=pa_n+1+qa_n（p，q是常數），則稱數列{a_n}為二階線性遞推數列，且定義方程x²=px+q為數列{a_n}的特征方程，方程的根稱為特征根； 數列{a_n}的通項公式a_n均可用特征根求得：
①若方程x²=px+q有兩相異實根α，β，則數列通項可以寫成a_n=c₁αⁿ+c₂βⁿ，（其中c₁，c₂是待定常數）；
②若方程x²=px+q有兩相同實根α，則數列通項可以寫成a_n=（c₁+nc₂）αⁿ，（其中c₁，c₂是待定常數）；
再利用a₁=m₁，a₂=m₂，可求得c₁，c₂，進而求得a_n．根據上述結論求下列問題：
（1）當a₁=1，a₂=2，a_n+2=4a_n+1-4a_n（n∈N^*）時，求數列{a_n}的通項公式；
（2）當a₁=5，a₂=13，a_n+2=5a_n+1-6a_n（n∈N^*）時，若數列{a_n+1-λa_n}為等比數列，求實數λ的值；
（3）當a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*）時，求S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_nC_nⁿ的值．

Answer 1

解：（1）a_n+2=4a_n+1-4a_n的特征根方程為：
x²-4x+4=0，
解得兩個相等的實根x₁=x₂=2，…（3分）
所以設通項a_n=（c₁+c₂n）•2ⁿ，
由a₁=1，a₂=2可得：
，
所以a_n=2^n-1，n∈N^*…（6分）
（2）由a_n+2=5a_n+1-6a_n可知特征方程為：
x²-5x+6=0，x₁=2，x₂=3…（8分）
所以 a_n=c₁•2ⁿ+c₂•3ⁿ，
由，
得到c₁=c₂=1，
所以 a_n=2ⁿ+3ⁿ，…（9分）
因為{a_n+1-λa_n}是等比數列，
所以有（a₂-λa₁）•（a₄-λa₃）=（a₃-λa₂）²λ=2或λ=3…（10分）
當λ=2時，
當λ=3時，同理可得
所以 λ=2或λ=3…（12分）
（3）同樣可以得到通項公式：，…（14分）
所以S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+a₃C_n³+…+a_nC_nⁿ
=
=
=
即 …（18分）
分析：（1）a_n+2=4a_n+1-4a_n的特征根方程為：x²-4x+4=0解得兩個相等的實根x₁=x₂=2，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由a_n+2=5a_n+1-6a_n可知特征方程為：x²-5x+6=0，x₁=2，x₂=3．所以 a_n=c₁•2ⁿ+c₂•3ⁿ，由得到c₁=c₂=1，所以 a_n=2ⁿ+3ⁿ，再通過分類討論能求出λ的值．
（3）由，知S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+a₃C_n³+…+a_nC_nⁿ=，由此能求出S_n．
點評：本題考查數列的通項公式，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．