Question

15．設函數(shù)f（x）=（x+2）e^x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當x≥0時，恒有$\frac{f（x）-{e}^{x}}{ax+1}$≥1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過討論a的范圍，結合函數(shù)的單調(diào)性確定a的具體范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=（x+3）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞-3，令f′（x）＜0，解得：x＜-3，
故函數(shù)f（x）在（-∞，-3）遞減，在（-3，+∞）遞增；
（2）a＜0時，若x＞-$\frac{1}{a}$，則$\frac{x+1}{ax+1}$e^x＜0，${\frac{x+1}{ax+1}e}^{x}≥1$不成立，
當a≥0時，記g（x）=（x+1）e^x-ax-1，則$\frac{x+1}{ax+1}$e^x≥1當且僅當g（x）≥0，
g′（x）=（x+2）e^x-a，
當x≥0時，（x+2）e^x≥2，當0≤a≤2時，g′（x）≥0，
故g（x）在[0，+∞）遞增，故g（x）≥g（0）=0，
a＞2時，由（1）知g′（x）在[0，+∞）遞增，且g′（0）=2-a＜0，
g′（a-2）=a（e^a-2-1）＞0，于是，g′（x）=0在[0，+∞）上有且只有1個實根，
不妨設該實根為x₀，當0＜x＜x₀時，g′（x）＜0，從而g（x）在（0，x₀）遞減，
故x∈（0，x₀）時，g（x）＜g（0）=0，不合題意，
綜上，實數(shù)a的范圍是[0，2]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．