Question

8．某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代號(hào)t	1	2	3	4	5	6	7
人均純收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．
附：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式 $\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法可得橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，橫標(biāo)和縱標(biāo)的積的和，與橫標(biāo)的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，寫出線性回歸方程．
（2）根據(jù)上一問做出的線性回歸方程，代入所給的t的值，預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入，這是一個(gè)估計(jì)值

解答 解：（1）由題意，$\overline{t}$=$\frac{1}{7}$×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6}{9+4+1+0+1+4+9}$=$\frac{14}{28}$=0.5，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{t}$=4.3-0.5×4=2.3．
∴y關(guān)于t的線性回歸方程為$\hat{y}$=0.5t+2.3；
（2）由（1）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
將2015年的年份代號(hào)t=9代入$\hat{y}$=0.5t+2.3，得：$\hat{y}$=0.5×9+2.3=6.8，
故預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元

點(diǎn)評 本題考查線性回歸分析的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法認(rèn)真做出線性回歸方程的系數(shù)，這是整個(gè)題目做對的必備條件，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題