Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作傾斜角為的直線，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，直線與曲線交于不同的兩點(diǎn).

（1）求直線的參數(shù)方程和曲線的普通方程；

（2）求的值.

Answer 1

【答案】（1）直線的參數(shù)方程為，曲線的普通方程為；（2）

【解析】

（1）根據(jù)直線參數(shù)方程的知識求得直線的參數(shù)方程，將的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后通過圖像變換的知識求得的普通方程.

（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，化簡后寫出韋達(dá)定理，根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義，求得的值.

直線的參數(shù)方程為，

由兩邊平方得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程式,

曲線的方程為,即.

(2)直線的參數(shù)方程為，代入曲線的方程得：

設(shè)對應(yīng)得參數(shù)分別為,則