Question

已知圓：.

（1）直線過點(diǎn)，且與圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程;

（2）過圓上一動點(diǎn)作平行于軸的直線，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，若向量，求動點(diǎn)的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線.

Answer 1

（1）直線方程為

（2）∴點(diǎn)的軌跡方程是，軌跡是焦點(diǎn)坐標(biāo)為，長軸為8的橢圓，并去掉兩點(diǎn)。

解析:

（Ⅰ）①當(dāng)直線垂直于軸時，則此時直線方程為，

與圓的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為和，其距離為，滿足題意………  2分

②若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，

即   …………………………………………………… 3分

設(shè)圓心到此直線的距離為，則，得

∴，，        

故所求直線方程為  ……………………………………5分

綜上所述，所求直線為或  ……………………  6分

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為,則點(diǎn)坐標(biāo)是   ……  7分

∵，∴  即，  …………9分

又∵，∴ ……………………………   10分

由已知，直線m ∥ox軸，所以，，…………………………… 11分

∴點(diǎn)的軌跡方程是，……………………  12分

軌跡是焦點(diǎn)坐標(biāo)為，長軸為8的橢圓，

并去掉兩點(diǎn)。