Question

18．在平行四邊形OABC中，已知過點C的直線與線段OA，OB分別相交于點M，N，若向量$\overrightarrow{OM}$=sinθ•$\overrightarrow{OA}$，向量$\overrightarrow{ON}$=cosθ•$\overrightarrow{OB}$，其中，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）求sin2θ的值；
（2）記△OMN的面積為S₁，平行四邊形OABC的面積為S，試求$\frac{{S}_{1}}{S}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據條件、向量加法的幾何意義及相等向量便可得到$\overrightarrow{ON}=cosθ•\overrightarrow{OC}+\frac{cosθ}{sinθ}•\overrightarrow{OM}$，而根據C，N，M三點共線，便有$cosθ+\frac{cosθ}{sinθ}=1$，這樣便可解出$sinθcosθ=\sqrt{2}-1$，從而得出sin2θ=$2\sqrt{2}-2$；
（2）根據條件可得到OM•ON=sinθcosθ•OA•OB，然后根據三角形的面積公式便可得出2S₁=sinθcosθ•S，帶入上面求出的sinθcosθ即可得出$\frac{{S}_{1}}{S}$．

解答 解：（1）如圖：
$\overrightarrow{ON}=cosθ•\overrightarrow{OB}$=$cosθ•（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}）$=$cosθ•\overrightarrow{OC}+\frac{cosθ}{sinθ}•sinθ•\overrightarrow{OA}$=$cosθ•\overrightarrow{OC}+\frac{cosθ}{sinθ}•\overrightarrow{OM}$；
∵C，N，M三點共線；
∴$cosθ+\frac{cosθ}{sinθ}=1$；
∴sinθcosθ=sinθ-cosθ；
∴（sinθcosθ）²+2sinθcosθ-1=0；
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴$sinθcosθ=\frac{-2+\sqrt{8}}{2}=-1+\sqrt{2}$；
∴$sin2θ=2\sqrt{2}-2$；
（2）∵$\overrightarrow{OM}=sinθ•\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{ON}=cosθ•\overrightarrow{OB}$，sinθ＞0，cosθ＞0；
∴OM=sinθ•OA，ON=cosθ•OB；
∴OM•ON=sinθcosθ•OA•OB；
∴OM•ONsin∠MON=sinθcosθ•OA•OB•sin∠MON；
∴2S₁=sinθcosθ•S；
∴$\frac{{S}_{1}}{S}=\frac{sinθcosθ}{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

點評 考查向量加法的幾何意義，向量的數乘運算，相等向量的概念，以及三點A，B，C共線時$\overrightarrow{OB}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OC}$，則有λ+μ=1，向量數乘的幾何意義，三角形的面積公式，二倍角的正弦公式．