Question

10．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）與圓E：x²+（y-$\frac{3}{2}$）²=4相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2$\sqrt{3}$，圓E交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)D．
（Ⅰ）求橢圓Γ的離心率；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)D的直線交橢圓Γ于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)N與點(diǎn)N'關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：直線MN'過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意的A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，圓心E到AB的距離為1，求出B坐標(biāo)代入橢圓方程得a即可．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），N′（-x₂，y₂）．圓E交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)D（0，-$\frac{1}{2}$），當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：y=kx-$\frac{1}{2}$，直線MN′的方程$y-{y}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}（x-{x}_{1}）$，依據(jù)橢圓的對(duì)稱性，若直線MN'過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)一定在y軸上，令x=0，$y={y}_{1}-\frac{{x}_{1}（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}（k{x}_{2}-\frac{1}{2}）+{x}_{2}（k{x}_{1}+\frac{1}{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}-\frac{1}{2}=-2$．

解答 解：（Ⅰ）由題意的A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，∵${x}_{B}=\sqrt{3}$，
圓心E到AB的距離為1，∴${y}_{B}=\frac{1}{2}$，∴$B（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$，代入橢圓方程得$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4}=1$，
解得a²=4，∴$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），N′（-x₂，y₂）．
圓E交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)D（0，-$\frac{1}{2}$），
當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：y=kx-$\frac{1}{2}$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{1}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去y得（1+4k²）x²-4kx-3=0．
∴x₁+x₂=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-3}{1+4{k}^{2}}$，
直線MN′的方程$y-{y}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}（x-{x}_{1}）$，
依據(jù)橢圓的對(duì)稱性，若直線MN'過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)一定在y軸上，
令x=0，$y={y}_{1}-\frac{{x}_{1}（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}（k{x}_{2}-\frac{1}{2}）+{x}_{2}（k{x}_{1}+\frac{1}{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}-\frac{1}{2}=-2$．
當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，直線MN′的方程為x=0，顯然過(guò)點(diǎn)（0，-2）．
直線MN'過(guò)定點(diǎn)（0，-2）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與圓的綜合應(yīng)用，及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于難題．