Question

【題目】如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)， ， 分別為線(xiàn)段， ， 的中點(diǎn)．

（）證明平面；

（）證明平面平面；

（）在線(xiàn)段上找一點(diǎn)，使得平面，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）所找的點(diǎn)為與的交點(diǎn)．

【解析】試題分析：（1）由三角形中位線(xiàn)定理可得，由線(xiàn)面平行的判定定理可得平面；（2）先根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理可證明平面， 平面，由面面平行的判定定理可得平面平面；（）設(shè)， 與分別交于， 兩點(diǎn)，由三角形中位線(xiàn)定理可得，∴平面，即點(diǎn)為所找的點(diǎn).

試題解析：（ ）證明：∵、分別是， 中點(diǎn)，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面．

（）證明：∵、分別是、中點(diǎn)，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面，

又∵，

平面， 平面，

∴平面，

點(diǎn)， ， 平面，

∴平面平面．

（）設(shè)， 與分別交于， 兩點(diǎn)，

易知， 分別是， 中點(diǎn)，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面，

即點(diǎn)為所找的點(diǎn)．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定定理、面面平行的判定定理，屬于難題.證明線(xiàn)面平行的常用方法：①利用線(xiàn)面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，可利用幾何體的特征，合理利用中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線(xiàn)平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.