Question

【題目】某游戲棋盤上標(biāo)有第站，棋子開(kāi)始位于第站，選手拋擲均勻骰子進(jìn)行游戲，若擲出骰子向上的點(diǎn)數(shù)不大于，棋子向前跳出一站；否則，棋子向前跳出兩站，直到跳到第站或第站時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)游戲過(guò)程中棋子出現(xiàn)在第站的概率為.

（1）當(dāng)游戲開(kāi)始時(shí)，若拋擲均勻骰子次后，求棋子所走站數(shù)之和的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）證明:；

（3）若最終棋子落在第站，則記選手落敗，若最終棋子落在第站，則記選手獲勝.請(qǐng)分析這個(gè)游戲是否公平.

Answer 1

【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，4；（2）證明見(jiàn)解析；（3）不公平.

【解析】

（1）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有根據(jù)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算公式求出概率即可.

（2）當(dāng)時(shí)，棋子要到第站，有兩種情況：由第站跳1站得到，其概率為；由第站跳2站得到，其概率為，從而，同時(shí)加上即可證出.

（3）由（2）可得，由，概率不相等，即可得出結(jié)論.

（1）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有

，

.

所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：

所以，；

（2）依題意，當(dāng)時(shí)，棋子要到第站，有兩種情況：

由第站跳1站得到，其概率為；由第站跳2站得到，其概率為.

所以，.

同時(shí)加上得；

（3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率為,，

由于若跳到第99站時(shí)，自動(dòng)停止游戲，故有.

所以，即最終棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戲不公平.