Question

【題目】如圖所示，直三棱柱中， ， 為的中點， 為的中點.

（1）求證： 面；

（2）若面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）設與交于，連接，∵，則與平行且相等.∴四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得結果；（2）以的中點為原點，分別以方向為軸和軸正方向，以方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果.

試題解析：（1）設與交于，連接，

∵，則與平行且相等.

∴四邊形為平行四邊形.

∴，又面， 面，

∴面.

（2）以的中點為原點，分別以方向為軸和軸正方向，以方向為軸正方向，建系如圖，設， ，則有

， ， ， ，

∴，∴，∴

由面，則.

則解得.

所以面的法向量為，

又設面的法向量為， ， ，

， ，所以，令，

則，

∴.

所以二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用空間向量求二面角，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.