Question

16．設橢圓的焦點為F₁（-5，0），F₂（5，0），橢圓上的點M與兩個焦點所構成的三角形的周長為32，求橢圓的標準方程，并作出圖形．

Answer 1

分析 設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．由橢圓可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{2a+2c=32}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．
由橢圓可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{2a+2c=32}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得c=5，a=11，b²=96．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{121}+\frac{{y}^{2}}{96}$=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．