Question

20．已知f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）（a＞0且a≠1）
（1）求函數f（x）的定義域；判斷它的單調性并用定義證明；
（2）若F（x）=f（x）-4且在（-∞，2]上恒有F（x）＜0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數解析式恒有意義，可得函數f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）的定義域為R；任取x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）并判斷符號，結合函數單調性的定義，可得f（x）在R上的單調性遞增；
（2）若F（x）=f（x）-4且在（-∞，2]上恒有F（x）＜0，則F（2）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a²-a^-2）-4＜0，解得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）（a＞0且a≠1）
對于任意x∈R，函數的解析式均有意義，
故函數f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）的定義域為R；
f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）在R為上增函數，理由如下：
設x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x₁-a^-x₁）-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x_2-a^-x₂）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x₁-a^x₂）（1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x₁-a^x₂）（1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1+{x}_{2}}}}$），
∵0≤x₁＜x₂，
①當0＜a＜1時，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，a^x₁＞a^x₂，1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1+{x}_{2}}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上的單調性遞增；
②當a＞1時，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，a^x₁＜a^x₂，1-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1+{x}_{2}}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上的單調性遞增；
（2）F（x）=f（x）-4在（-∞，2]上也為增函數，
若F（x）＜0恒成立，則F（2）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a²-a^-2）-4＜0，
即a-a^-1-4＜0，即a²-4a-1＜0，
解得：2-$\sqrt{5}$＜a＜2+$\sqrt{5}$，
又由a＞0且a≠1得：a∈（0，1）∪（1，2+$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查的知識點是函數單調性的性質，函數單調性的判斷與證明，恒成立問題，難度中檔．