Question

已知是二次函數(shù)，不等式的解集是(0,5)，且f(x)在區(qū)間[－1,4]上的最大值是12.

(1)求的解析式；

(2)是否存在自然數(shù)m，使得方程＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2)存在唯一的自然數(shù)m＝3，使得方程在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根．

【解析】

試題分析：(1)為求函數(shù)的解析式，可根據(jù)是二次函數(shù)，且的解集是(0,5)，

設(shè)出應(yīng)用“待定系數(shù)法”．

(2)首先注意到方程＝0等價于方程，從而，可通過研究函數(shù)

達(dá)到解題目的.

具體地，通過“求導(dǎo)數(shù)、求駐點、討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”，認(rèn)識方程的根分布情況.

試題解析：

(1)∵是二次函數(shù)，且的解集是(0,5)，

∴可設(shè)．

∴在區(qū)間[－1,4]上的最大值是.

由已知，得                    5分

(2)方程＝0等價于方程

設(shè)

則．                           7分

當(dāng)x∈時，，因此在此區(qū)間上是減少的；

當(dāng)x∈時，，因此是在此區(qū)間上是增加的．

∵h(yuǎn)(3)＝1>0，h＝<0，h(4)＝5>0，                10分

∴方程＝0在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實數(shù)根，而在區(qū)間(0,3)，(4，＋∞)內(nèi)沒有實數(shù)根，

∴存在唯一的自然數(shù)m＝3，使得方程在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根．                                       12分

考點：待定系數(shù)法，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)方程.