Question

在矩形中，以所在直線為軸，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，E、F為的兩個(gè)三等分點(diǎn)，和交于點(diǎn)，的外接圓為⊙．

（1）求證：；

（2）求⊙的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線與⊙交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M恰好是線段PN的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1），，根據(jù)。

(2) .

(3) ．

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，，，．

所以直線和直線的方程分別為:，，

由　解得 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．     6分

所以，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082113005803285133/SYS201308211301217188703183_DA.files/image003.png">，所以，                8分

(2)由（1）知⊙的圓心為中點(diǎn)，半徑為，

所以⊙方程為 .               10分

(3) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)辄c(diǎn)均在⊙上，所以，

由②－①×4，得，

所以點(diǎn)在直線，      12分

又因?yàn)辄c(diǎn)在⊙上，

所以圓心到直線的距離

 ，            14分

即，

整理，得，即，

所以，故的取值范圍為．   16分

解法二：過作交于，

設(shè)到直線的距離，則

，

，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082113005803285133/SYS201308211301217188703183_DA.files/image049.png">

所以，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082113005803285133/SYS201308211301217188703183_DA.files/image053.png">，

所以，所以，；

解法三：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082113005803285133/SYS201308211301217188703183_DA.files/image056.png">，，所以

所以，所以，．

考點(diǎn)：直線方程，直線垂直的條件，圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評：中檔題，直線方程的考查中，點(diǎn)斜式是一重點(diǎn)考查內(nèi)容。兩直線垂直的條件是，斜率乘積為-1，或一條直線斜率為0，另一直線的斜率不存在。直線與圓的位置關(guān)系問題，往往利用“幾何法”更為直觀、簡單。