Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值；

（2）若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是，，無(wú)最小值；（2）

【解析】

（1）求出后討論其符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值.

（2）原方程等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，也就是函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）∵，， ∴ ，

∴令，即，解得：.

令，即，解得：，

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是，

∴當(dāng)時(shí)，，無(wú)最小值.

（2）∵方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

∴方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

∴函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

又由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減 ，

∴當(dāng)時(shí)，，，

又，∴，

∴，∴，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.