Question

已知函數(shù)，，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（Ⅱ）求滿足下列條件的所有實(shí)數(shù)對(duì)：當(dāng)是整數(shù)時(shí)，存在，使得是的最大值，是的最小值；

（Ⅲ）對(duì)滿足（Ⅱ）的條件的一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)，試構(gòu)造一個(gè)定義在，且上的函數(shù)，使當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值的自變量的值構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列。

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

若，，則在上單調(diào)遞減，不符題意。

故，要使在上單調(diào)遞增，必須滿足 ，∴ 。  （4分）

（Ⅱ）若，，則無(wú)最大值，故，

∴為二次函數(shù)，

要使有最大值，必須滿足，即且，

此時(shí)，時(shí)，有最大值。

       又取最小值時(shí)，，依題意，有，

       則，

∵且，∴，得，此時(shí)或。

∴滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)是。   （9分）

（Ⅲ）當(dāng)實(shí)數(shù)對(duì)是時(shí)，         （14分）

依題意，只需構(gòu)造以2（或2的正整數(shù)倍）為周期的周期函數(shù)即可。

如對(duì)，，

此時(shí)，，

       故