Question

【題目】如圖，在四棱錐中，頂點(diǎn)P在底面的投影恰為正方形ABCD的中心且，設(shè)點(diǎn)M，N分別為線(xiàn)段PD，PO上的動(dòng)點(diǎn)，已知當(dāng)取得最小值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M恰為PD的中點(diǎn)，則該四棱錐的外接球的表面積為____________．

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)已知條件可知四棱錐為正四棱錐；在上取一點(diǎn)，使得，從而可知三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取最小時(shí)，且最小值為；由三線(xiàn)合一性質(zhì)可確定；求得后，利用勾股定理構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程，解方程求得外接球半徑，代入球的表面積公式可求得結(jié)果.

四邊形為正方形，頂點(diǎn)在底面投影為正方形中心

四棱錐為正四棱錐

在上取一點(diǎn)，使得，則

三點(diǎn)共面 三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為

取最小值時(shí)，為中點(diǎn) 為中點(diǎn)

又當(dāng)時(shí)，最小

設(shè)四棱錐外接球半徑為

則，解得：

四棱錐外接球的表面積：

本題正確選項(xiàng)：