Question

如圖，己知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）
（1）求證：不論λ為何值，總有EF⊥平面ABC：
（2）若λ=

1

2

，求三棱錐A-BEF的體積．

Answer 1

分析：（1）要證不論λ為何值，總有EF⊥平面ABC，只需證CD⊥平面ABC，在△BCD中，根據(jù)∠BCD=90°得證．
（2）根據(jù)V_{三棱錐A-BEF}=V_{三棱錐F-ABE}，得出體積即可．

解答：（1）證明：因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，所以，BC⊥CD，又AB∩BC=B，
所以，CD⊥平面ABC，
又在△ACD，E、F分別是AC、AD上的動點，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）
所以，不論λ為何值，總有EF⊥平面ABC：
（2）解：在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，所以，BD=

2

，
又AB⊥平面BCD，所以，AB⊥BC，AB⊥BD，
又在Rt△ABC中，∠ADB=60°∴AB=BDtan60°=

6

由（1）知EF⊥平面ABE，∴V_{三棱錐A-BEF}=V_{三棱錐F-ABE}
=

1

3

S△ABE •EF= 

1

6

×

1

2

×1 ×

6

×

1

2

=

6

24

所以，三棱錐A-BCD的體積是：

6

24

點評：本題考查考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．屬于中檔題．