Question

已知兩點(diǎn)，直線(xiàn)AM、BM相交于點(diǎn)M，且這兩條直線(xiàn)的斜率之積為.

（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；

（Ⅱ）記點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C，曲線(xiàn)C上在第一象限的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，直線(xiàn)PE、PF與圓（）相切于點(diǎn)E、F，又PE、PF與曲線(xiàn)C的另一交點(diǎn)分別為Q、R.

求△OQR的面積的最大值（其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（）；（Ⅱ） .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 則, ,化簡(jiǎn)可得軌跡方程.

（Ⅱ）設(shè)出直線(xiàn)PE、PF的點(diǎn)斜式方程,分別求出它們與圓（）相切條件下與曲線(xiàn)C的另一交個(gè)交點(diǎn)Q、R.的坐標(biāo),寫(xiě)出直線(xiàn)的方程,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求的底邊上的高.進(jìn)而得出面積的表達(dá)式,再探索用基本不等式求該式最值的方法.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)， 2分

整理得點(diǎn)M所在的曲線(xiàn)C的方程：（） 3分

（Ⅱ）由題意可得點(diǎn)P（） 4分

因?yàn)閳A的圓心為（1，0），

所以直線(xiàn)PE與直線(xiàn)PF的斜率互為相反數(shù)

----------5分

設(shè)直線(xiàn)PE的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立消去，得：

， 6分

由于1是方程的一個(gè)解，

所以方程的另一解為 7分

同理 8分

故直線(xiàn)RQ的斜率為

= 9分

把直線(xiàn)RQ的方程代入橢圓方程，消去整理得

所以 10分

原點(diǎn)O到直線(xiàn)RQ的距離為 11分

. 12分

考點(diǎn)：1、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法；2、直線(xiàn)與圓、圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系；3、基本不等式的應(yīng)用.