Question

如圖，已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，|F₁F₂|=4，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，直線PF₂交y軸于點(diǎn)A，△AF₁P的內(nèi)切圓切邊PF₁于點(diǎn)Q，若|PQ|=1，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A、y=±

  3

  3

  x
• B、y=±3x
• C、y=±

  1

  3

  x
• D、y=±

  3

  x

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)內(nèi)切圓與AP切于點(diǎn)M，與AF₁切于點(diǎn)N，|PF₁|=m，|QF₁|=n，由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，即有m-（n-1）=2a，①運(yùn)用對(duì)稱性和切線的性質(zhì)可得m-1=n，②，可得a=1，再由c=2，可得b，結(jié)合漸近線方程即可得到．

解答： 解：設(shè)內(nèi)切圓與AP切于點(diǎn)M，與AF₁切于點(diǎn)N，
|PF₁|=m，|QF₁|=n，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，即有m-（n-1）=2a，①
由切線的性質(zhì)可得|AM|=|AN|，|NF₁|=|QF₁|=n，|MP|=|PQ|=1，
|MF₂|=|NF₁|=n，
即有m-1=n，②
由①②解得a=1，
由|F₁F₂|=4，則c=2，
b=

c2-a2

=

3

，
由雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

b

a

x，
即有漸近線方程為y=±

3

x．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查切線的性質(zhì)，運(yùn)用對(duì)稱性和雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵．