Question

函數(shù)f（x）=msinx+

2

cosx（m＞0）的最大值為2，求在[0，π]的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：將f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值為2列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，進(jìn)而確定出f（x）的解析式，由正弦函數(shù)的遞減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z），列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：f（x）=msinx+

2

cosx=

m2+2

sin（x+θ）（其中sinθ=

2

m2+2

，cosθ=

m

m2+2

），
∴f（x）的最大值為

m2+2

，
∴

m2+2

=2，
又m＞0，∴m=

2

，
∴f（x）=2sin（x+

π

4

），
令2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），解得：2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

（k∈Z），
則f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

4

，π]．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．