Question

17．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，且經(jīng)過點$P（1，\frac{3}{2}）$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的右焦點，M為橢圓上一點，以M為圓心，MF為半徑作圓M．問點M的橫坐標在什么范圍內(nèi)取值時，圓M與y軸有兩個交點？
（3）設圓M與y軸交于D、E兩點，求弦長DE的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，且經(jīng)過點$P（1，\frac{3}{2}）$．得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}^{2}-4^{2}=0}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=3}\end{array}\right.$，即可；
 （2）易求得F（1，0）．設M（x₁，y₁），則圓M的方程為（x-x₁）²+（y-y₁）²=（1-x₁）²+y₁²
令x=0，化簡得y²-2yy₁+2x₁-1=0，$△=4{{y}_{1}}^{2}-4（2{x}_{1}-1）$＞0即可．
（3）設D（0，y₁），E（0，y₂），其中y₁＜y₂．由（2），得DE=y₁-y₂=$\sqrt{4{y}_{1}-4（2{x}_{1}-1）}$=$\sqrt{-3{{x}_{1}}^{2}-8{x}_{1}+16}$，當x₁=-$\frac{4}{3}$時，DE的最大值為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，且經(jīng)過點$P（1，\frac{3}{2}）$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3{a}^{2}-4^{2}=0}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=3}\end{array}\right.$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）易求得F（1，0）．設M（x₁，y₁），則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1$，
圓M的方程為（x-x₁）²+（y-y₁）²=（1-x₁）²+y₁²
令x=0，化簡得y²-2yy₁+2x₁-1=0，$△=4{{y}_{1}}^{2}-4（2{x}_{1}-1）$＞0…①．
將y₁²=3（1-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$）代入①，得3x${{\;}_{1}}^{2}$+8x₁-16＜0，
解出-4$＜{x}_{0}＜\frac{4}{3}$，又∵-2≤x₁≤2，∴$-2≤{x}_{1}＜\frac{4}{3}$；
（3）設D（0，y₁），E（0，y₂），其中y₁＜y₂．由（2），得
DE=y₁-y₂=$\sqrt{4{y}_{1}-4（2{x}_{1}-1）}$=$\sqrt{-3{{x}_{1}}^{2}-8{x}_{1}+16}$，
當x₁=-$\frac{4}{3}$時，DE的最大值為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的方程，橢圓的性質(zhì)，弦長公式，屬于中檔題．