Question

【題目】已知橢圓：在軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且右焦點(diǎn)坐標(biāo)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與圓相切，和橢圓交于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，線段，分別和圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)，的面積分別為，，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用待定系數(shù)法求解；

（2）分直線斜率不存在與存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易得，當(dāng)直線斜率存在，設(shè)設(shè)，，由直線與圓相切得到，將直線與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理，將表示成k的函數(shù)，求出值域即可.

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

如圖所示，為等腰直角三角形，為斜邊的中線（高），

且，，，．

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為，由對稱性，不妨設(shè)為，

此時(shí)，，，，故

②若直線斜率存在，設(shè)其方程為，由已知得

設(shè)，，將直線與橢圓聯(lián)立得

由韋達(dá)定理，

結(jié)合及，可知：

將韋達(dá)定理代入整理得

結(jié)合知，設(shè)，

則

綜上的取值范圍為