Question

下列四個(gè)命題：
①對(duì)于任意向量

a

、

b

，|

a

-

b

|≤|

a

|-|

b

|；
②向量

a

，

b

滿足

a

•

b

=0，|

a

|=1，|

b

|=2，則|2

a

-

b

|=2

2

③對(duì)于非零向量

a

、

b

，

a

⊥

b

的充要條件是：|

a

+

b

|=|

a

-

b

|；
④在四邊形ABCD中，

AD

=2

BC

，則該四邊形為等腰梯形．
其中真命題是（　�。�

• A、②③
• B、①③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：畫圖說明命題①④錯(cuò)誤；
由已知求出|2

a

-

b

|=2

2

，得到命題②正確；
利用非零向量

a

⊥

b

得到等價(jià)關(guān)系

a

•

b

=0，進(jìn)一步得到等價(jià)關(guān)系|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，得到命題③正確．

解答： 解：對(duì)于命題①，如圖，

令

OA

=

a

，

OB

=

b

，則

BA

=

a

-

b

，由三角形兩邊之差小于第三邊可知命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于命題②，∵

a

•

b

=0，|

a

|=1，|

b

|=2，
則|2

a

-

b

|=

|2 a - b |2

=

(2 a - b )2

=

4| a |2-4 a • b +| b |2

=

4+4

=2

2

，命題②正確；
對(duì)于命題③，非零向量

a

⊥

b

?

a

•

b

=0?|

a

|2+2

a

•

b

+|

b

|2=|

a

|2-2

a

•

b

+|

b

|2?|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，
∴命題③正確；
對(duì)于命題④，如圖，

AD

=2

BC

，四邊形是梯形，但不一定是等腰梯形，∴命題④錯(cuò)誤．
∴正確的命題是②③．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了命題的真假判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．