Question

10．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx圖象與直線x-y-4=0相切于（1，f（1））
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若方程f（x）=m-7x有三個解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出切點坐標，利用導數(shù)與函數(shù)值，即可得到結(jié)果．
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過導數(shù)為0，得到函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)的極值點，推出不等式組，得到結(jié)果．

解答 附加題：
解：（1）x=1代入直線方程可得f（1）=-3，
函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx，求導可得f′（x）=3x²+2ax+b，…（2分）
根據(jù)題意可得$\left\{\begin{array}{l}f（1）=1+a+b=-3\\ f′（1）=3+2a+b=1\end{array}\right.$，…（4分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-6\end{array}\right.$；…（6分）
（2）由（1）可得f（x）=x³+2x²-6x，所以方程等價于x³+2x²-6x=m-7x，即x³+2x²+x=m，
令h（x）=x³+2x²+x，
∴h′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），…（8分）
令h′（x）=0，解得x=-$\frac{1}{3}$或x=-1．當x變化時，h′（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	$（-1，-\frac{1}{3}）$	$-\frac{1}{3}$	$（-\frac{1}{3}，+∞）$
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	單調(diào)遞增	0	單調(diào)遞減	$-\frac{4}{27}$	單調(diào)遞增

…（10分）
要使x³+2x²+x=m有三個解，需要$-\frac{4}{27}＜m＜0$，
所以m的取值范圍是$-\frac{4}{27}＜m＜0$…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)以及函數(shù)的切線方程以及函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力．