Question

（本題滿分12分）
如圖，斜率為1的直線過拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于兩點(diǎn)A，B。
（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；
（2）設(shè)C為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括A，B兩點(diǎn)），求的面積S的最大值；
（3）設(shè)P是拋物線上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB分別交拋物線的準(zhǔn)線于M，N兩點(diǎn)，證明M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值（僅與p有關(guān)）

Answer 1

（1）
（2）
（3）證明見解析。

解析解：設(shè)
（1）由條件知直線
由消去y，得                             …………1分
由題意，判別式（不寫，不扣分）
由韋達(dá)定理，
由拋物線的定義，
從而所求拋物的方程為                          …………3分
（2）設(shè)。由（1）易求得
則                                                    …………4分
點(diǎn)C到直線的距離
將原點(diǎn)O（0，0）的坐標(biāo)代入直線的左邊，
得
而點(diǎn)C與原點(diǎn)O們于直線的同側(cè)，由線性規(guī)劃的知識知
因此                                                             …………6分
由（1），|AB|=4p。


由
知當(dāng)     …………8分
（3）由（2），易得
設(shè)。
將代入直線PA的方程
得
同理直線PB的方程為
將代入直線PA，PB的方程得
                                            …………10分



                                                         …………12分