Question

【題目】已知函數(shù)，設.

（Ⅰ）求的極小值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極小值為；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出導函數(shù)得到，通過判斷導函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，通過時和時，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，推出結果即可.

（Ⅰ），，

由題意可知，所以，

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在處取得極小值，為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.

當時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，

即當時，在恒成立；

當時，，

又，

又由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以在上一定存在使得，

當時，，當時，.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，

所以在存在，使得，

所以當時，在上不恒成立

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.