Question

已知正方形ABCD，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為θ（0＜θ＜π）。

（1）證明BF∥平面ADE；
（2）若△ACD為正三角形，試判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論，并求角θ的余弦值。

Answer 1

解：（1）證明：E、F分別是正方形ABCD的邊AB、CD的中點(diǎn) ∴ED∥FD，且EB=FD， ∴四邊形EBFD是平行四邊形， ∴EF∥ED ∵BD平面AED，而BF平面AED ∴BF∥平面AED。
（2）點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上， 過點(diǎn)A用AG⊥平面BCDE，垂足為G，連結(jié)GC，GD ∵△ACD為正三角形 ∴AC=AD， ∴GC=GD， ∴G在CD的垂直平分線上， 又∵EF是CD的垂直平分線， ∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上。 過G作GH⊥ED，垂足為H，連結(jié)AH，則AH⊥DE ∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ 設(shè)原正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，連結(jié)AF 在折后圖的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a， ∴△AEF為直角三角形，AG·EF=AE·AF， ∴AC= 在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE， ∴AH=， ∴ ∴。